1.ESPACIO VECTORIAL.

Es un conjunto arbitrario diferente del vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición y producto por un número. Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida, por definida, entendemos que siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.

Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:

Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se constituyen como espacios vectoriales: Matrices de n×n ; P(n) (polinomios), funciones continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora consideraremos el conjunto IR2 = { (x, y) | ... } y veremos las siguientes operaciones:

Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos las siguientes operaciones:

^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u ·^v = x1 · x2 + y1 · y2

Y además se satisfacen los siguientes axiomas:

Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c escalares, entonces:

1. ^u + ^v = ^v + ^u
2. (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)
3. ^u + 0 = 0 + ^u = ^u
4. ^u + ( - ^u) = 0
5. a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)
6. a(^u + ^v) = a^u + a^v
7. (a + b)^u = a^u + b^v
8. 1^u = ^u
9. ^u·^v = ^v·^u
10. ^u(^v + ^w) = ^u·^v + ^u·^w
11. c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)
12. 0·^u = 0
13. ^u·^u = |^u|2
14. Dos vectores son perpendiculares ó ^u·^v = 0

En IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano trazando una línea de leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector anclado. Además, si el vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x, y).
En la siguiente gráfica ^u es un vector anclado, observemos los demás elementos que componen dicha gráfica:

Podemos observar que:

^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las siguientes conclusiones:

• || ^u || = (x² + y²)½
• Cos(q) = x / || ^u ||
• Sen(q) = y / || ^u ||
• Para un vector anclado ^u, ^ux representa su componente en la dirección x y ^uy representa su componente en la dirección y.
• La dirección de un vector de posición está dada por el ángulo que forma con el sentido positivo del eje X.

2.LA LÍNEA RECTA.

2.1.Concepto de Línea Recta.

Éste concepto matemático parece no tener definición ya que es una sucesión de puntos y éstos carecen de magnitud, pero se considera como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en términos del espacio, es la intersección de dos planos. Además tenemos los siguientes conceptos:

• Segmento de recta: Recta delimitada por dos puntos, ésta es una magnitud lineal finita.
• Semirrecta:Si se tiene una recta con un punto P contenido en ella y que la divide, cada una de las porciones en que queda dividida se le conoce como semirrecta.
• Rayo: Se le conoce como la semirrecta en un sentido, simbolizada como

donde la flecha indica el sentido, el origen es A y el destino B, o bien por "r" con una flecha indicando el destino.
2.2.Pendiente de una recta.
Uno de los elementos más importantes de la línea recta es la pendiente, la cual se define como la tangente del ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es aquel que forma la recta con el eje positivo de las X. Dados dos puntos por los cuales pasa la recta, su pendiente se calcula así:

• m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
• m = Tg ().
• Tg() = y2 / x2 = y1 / x1

2.3.Ecuación de la recta.

• Forma intercepto-pendiente: y = mx + b (b es el intercepto con el eje Y).
• Conocidos la pendiente y un punto cualquiera (x1, y1), la ecuación es: y – y1 = m(x – x1).
• Conocidos dos puntos la ecuación es: y – y1 = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] · (x – x1)
• Forma general de la ecuación de la recta: La encontramos haciendo operaciones con cualquiera de las formas antes mencionadas, su representación es: ax + by + c = 0.

Definiciones.

• Se dice que dos puntos son colineales si están sobre la misma recta.
• Se dice que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1.
• Se dice que dos rectas son paralelas si ambas tienen la misma pendiente.
• La distancia del punto P(x1, y1) a la recta L: Ax + By + C = 0 es: d(P, L) = |Ax1 + By1 + C| / (A² + B²)½

2.4.Forma simétrica de la ecuación de la recta.
x/a + y / b = 1 Donde a es el intercepto con x y b el intercepto con y.
2.5.Rectas y vectores.
En el plano cartesiano las rectas y los vectores se relacionan de la siguiente forma: Dados dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), entonces, ellos determinan una recta, justamente la que pasa por ambos, y su ecuación se encuentra de forma usual. Vistos los puntos como vectores ^a = (x1, y1) y ^u = (x2, y2), puede plantearse la siguiente pregunta: ¿Cuál es la recta que pasa por la punta del vector ^a en la dirección del vector ^u? (recta L), con mayor precisión, observe en la figura que ^u = ^a + t^h que es la ecuación en forma vectorial de la recta L. Entonces podemos hacer las siguientes sustituciones:
^a + t^h = (x1 + tx2, y1 + ty2) è x = x1 + tx2 y y = y1 + ty2 y podemos sustituir y despejar t para encontrar la ecuación de la recta en su forma general.

Teorema:
La forma normal de la ecuación de una recta está dada por: xCos(q) + ySen(q) – p; donde p es un número positivo numéricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta y q es el ángulo positivo menor a 360°.

3.CIRCUNFERENCIA.

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.

La circunferencia cuyo centro es (h, k)y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el nombre de ecuación en forma ordinaria.

3.1.Forma general de la ecuación de una circunferencia.
Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:
X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2; agrupando términos:
X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0; por último tenemos:
D E F
X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 que es la forma general que buscábamos. De aquí deducimos que cualquier ecuación en forma ordinaria puede transformarse mediante operaciones correctas a la forma general.
3.2.Tangente a una circunferencia.
Dada la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria o general, hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que tiene dicha ecuación dados un punto de contacto, la pendiente de la de la recta buscada o un punto exterior por el cual pasa la recta tangente.

En geometríaelemental se estudia únicamente la tangente a una curva: la circunferencia, el estudio hecho es insuficiente para las curvas planas en general, por ello, estudiaremos un método que se aplique a todas las curvas existentes en el siguiente apartado.

4.TANGENTE A UNA CURVA.

Dada la función f(x, y) <1> y la recta, que es tangente a esa curva, y = mx + b despejamos y en la ecuación de la recta y la sustituimos en f(x, y), después de esto nos debe quedar una ecuación de segundo grado, la cual hay que resolver con la siguiente condición: sabemos que la ecuación de segundo grado tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos D y lo igualaremos a cero quedando de la forma D = 0 y le llamaremos "condición de tangencia".

En la expresión <1> hablamos de una función general en dos variables y nos referimos a funciones cuadráticas donde y = mx + b representa una familia de rectas y el sistema pretende determinar cuál de esas rectas es tangente.

Resolviendo nos queda una ecuación de segundo grado, como lo habíamos dicho con anterioridad, para la variable xy como estamos buscando una única solución se deduce que el discriminante tiene que ser igual a cero, es decir, estamos hablando de la condición de tangencia.
De manera práctica se encuentran tres casos de tangentes a cónicas.

1. Se conoce el punto de contacto, aquí hay una sola tangente.
2. Se conoce la pendiente, aquí hay dos tangentes.
3. Se conoce un punto exterior por el cual pasa la tangente, aquí hay dos tangentes.

Para hallar las ecuacionesde las tangentes se sustituye el dato conocido en la ecuación de la recta y se resuelve la aplicando la condición de tangencia, determinando así la ecuación de las rectas.

5.PARÁBOLA.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz.
La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.
Los elementos de una parábola son entonces: vértice, foco, longitud del lado recto, y la ecuación de la directriz. Nosotros estudiaremos únicamente las parábolas con ejes focales paralelos al eje X o al eje Y. La distancia del vértice a la directriz es la misma distancia del vértice al foco.
Teorema:
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) y sus elementos son los siguientes:

• Foco(h + p, k)
• Directriz x = h – p
• Eje focal y = k
• Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.
• Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.
• Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma (x - h)² = 4p(y - k) y sus elementos son:

• Foco (h, k + p)
• Directriz y = k – p
• Eje focal x = h
• Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
• Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.

6.ELIPSE.

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Los elementos de una elipse son los que se describen en la figura siguiente:

• F y F’, focos.
• V y V’, vértices
• C, centro.
• d(V, V’), eje mayor.
• CF, lado recto.
• d(A, A’) eje menor.
• L’, eje normal.
• L, eje focal.

Es importante observar que F, F’, C, V y V’ tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V es igual a la distancia de F’ a V’ y que C es el punto medio de los focos y vértices.
Teorema:
La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje X esta dada por: (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1, y paralela al eje Y es: (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1.
En donde para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro hacia cada foco y a, b, c están ligadas por la siguiente relación: a² = b² + c².
También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b² / a y la excentricidad e = c / a.

7.HIPÉRBOLA.

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos. Sus elementos son los que se muestran en la figura:

• F y F’, focos.
• V y V’, vértices.
• L, eje focal.
• VV’, eje transverso.
• C, centro.
• L’, eje normal.
• AA’, eje conjugado.
• CF, lado recto.

Teorema:
La ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma:
(x - h)² / a² - (y - k)² / b² =1, sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k) y sus vértices son (h – a, k) y (h + a, k).
Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma: (y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1, sus focos son (h , k + c) y (h, k - c) y sus vértices son (h - a, k ) y (h + a, k ).
Donde para cada parábola a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado y c la distancia del centro a cada foco; a, b, c están ligadas por la relación c² = a² + b².. También la longitud de cada lado recto es 2b² / a y la excentricidad está dada por la relación e = c /a.

8.ASÍNTOTAS.

Si para una curva dada, existe una recta talque, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a esa recta decrece continuamente y tiende a cero dicha curva se llama asíntota de la curva, la cual puede ser horizontal o vertical.
Teorema:
La hipérbola b²x² - a²y² = a²b² tiene por asíntotas las rectas: bx – ay = 0 y bx + ay = 0.

9.SUBTANGENTE Y SUBNORMAL.

Veamos la siguiente figura:

siguiendo la figura podemos decir lo siguiente:

• L es tangente a la curva C en el punto P1.
• L’ es la recta trazada por P1 perpendicular a L y se llama normal a C en P1. Su ecuación es y – y1 = -1/m(x – x1).
• La tangente y la normal cortan al eje X en T y N.
• La longitud P1T es la longitud de la tangente y P1N es la longitud de la normal.
• La proyección QT de la longitud de la tangente sobre X se llama subtangente .
• La proyección QN de la longitud de la normal sobre X se llama subnormal.

Si m es la pendiente de una curva plana continua C en P1(x2, y1), entonces en P1 tenemos:

• Ecuación de la tangente a C: y – y1 = m(x – x1).
• Ecuación de la normal a C: y – y1 = -1/m(x – x1) con m != 0.
• Longitud de la tangente: y1 / m (1 + m²) ½ con m ¡= 0.
• Longitud de la normal: y1(1 + m²)½ .
• Longitud de la subtangente: y1 / m
• Longitud de la subnormal: my1.

10.ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO.

Esta ecuación tiene la siguiente forma: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 y representa alguna de las cónicas.
Teorema:

La ecuación general de segundo grado representa una cónica del género parábola, elipse o hipérbola según el indicador I = B² - 4AC sea 0, negativo o positivo respectivamente.

11.TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.

Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia por otra siguiendo una ley dada. Analíticamente la ley se expresa mediante una o más ecuaciones llamadas "ecuaciones de transformación".

11.1.Traslación de ejes de coordenadas.
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen, O’ es el punto (h, k), y si las coordenadas de cualquier punto antes y después de la traslación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

x = x’ + h; x’ = x - h

y = y’ + k; y’ = y – k

11.2.Rotación de ejes de coordenadas.

Si los ejes coordenados giran un ángulo q en torno de su origen como centro de rotación y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema están dadas por:

x = x’cos(q) – y’sen(q); y = x’sen(q) + y’cos(q)

12.COORDENADAS POLARES.

Veamos la siguiente gráfica:

De ella podemos decir que x = rCos(q) y y = rSen(q),por tanto, podemos representar el punto P(x, y)mediante otro sistema denominado coordenadas polares que toma en cuenta la magnitud r y el ángulo q, así, el punto P(x, y) lo podemos escribir como P(r, q).

13.LUGAR GEOMÉTRICO.

El ligar geométrico lo podemos definir como el conjunto de puntos y solo de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x, y)=0, y además, cualquier punto que se mueve en el plano describe una curva. El hallar la ecuación de la curva y todas sus propiedades es un problema de lugar geométrico, donde se busca una expresión matemática que describa la situación.

13.1.Lugar geométrico de la recta en 3 dimensiones.
Dados dos puntos fijos la recta se describe por aquellos puntos que se mueven a lo largo del vector que describen esos dos puntos en dirección contraria.
13.2.Ecuaciones paramétricas.
La recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de los puntos P, tales que PoP es paralelo a ^v, es decir, que satisfacen d(P0, P) = t^v para algún número real t.
Si r = OP y r0 = OP son los vectores de posición de P y P0, respectivamente, entonces:
è P0P = t^v
è P0P = r – r0
è r = r0 + t^v (1)
Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0, y0. z0) e igualamos los componentes en (1) tenemos,

x = x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 + ct

y éstas se denominan ecuaciones paramétricas (vea la gráfica).

Si despejamos t de las ecuaciones paramétricas obtenemos las ecuaciones simétricas o estándar:

(X – x0) / a = (y – y0) / b = (z – z0) / c

14.DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Para hallar la distancia de un punto P(r, s) a una recta dada tenemos dos alternativas, calcularla mediante:
P(r, s) Recta L: Ax + By + C = 0
d(P, L) = + Ar + Bs + C / (A² + B²)½ (1)
y otra alternativa es calcularla de forma vectorial la cual está dada por:

d(P, L) = | ^L × ^K | / | ^L |, donde K y L son vectores determinados, aquí el procedimientoque se sigue es obtener los vectores K y L, realizar el producto vectorial por medio de determinantes y llegar a la fórmula (1).

15.EL PLANO.

Primero definamos lo que es producto cruz, sean vectores ^v = (x1, x2, x3 ) y ^w = (y1, y2, y3), entonces lo definimos por medio del cálculo del determinante siguiente:

el cual también es un elemento de IR³.
Ahora sí definimos al plano, un plano en tres dimensiones es el lugar geométrico de los puntos, por los que u punto móvil se traslada de tal forma que el vector de él a un punto fijo de él es siempre perpendicular a un vector fijo llamado normal al plano. Consideremos la ecuación del plano como Ax + By + Cz + D = 0 con A, B, C no todas nulas.
Para dos vectores dados cualesquiera ^v y ^w su producto cruz (^v × ^w) es un vector perpendicular a ^v y a ^w y sus números directores son los mismos que los de la normal al plano.

16.LA ESFERA.

El lugar geométrico de una esfera, es el lugar de un punto en el espacio que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante. El punto fijo se llama centro y la distancia radio. Su ecuación es muy parecida a la de la circunferencia, esta es: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r², donde r es el radio y (a, b, c) es el centro del cual hablamos. En el caso de la circunferencia hablamos de recta tangente, pero en el caso de la esfera hablaremos del plano tangente a una esfera, el cual se obtiene buscando el vector que describe el centro con el punto de contacto y determinar la ecuación de la normal al plano.
La forma general de la ecuación de la esfera es : x² + y² +z² + Gx + Hy + Iz + K = 0
16.1.Coordenadas esféricas.
Es posible representar un punto en el espacio en otro sistema de coordenadas denominado coordenadas esféricas, el cual considera la distancia al origen y los ángulos que forma ese radio vector con los ejes X y Z, eto implica que el punto P(x, y, z) puede escribirse como: P(r, a, q).
Teorema:
Las coordenadas rectangulares y esféricas de un punto en el espacio están ligadas por las relaciones:

X = rSen(a)Cos(q); y = rSen(a)Sen(q); z = rCos(a).

17.SUPERFICIES.

Se llama superficie al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación del tipo f(x, y, z) = 0.
Definición:
Se dice que dos puntos distintos son simétricos con respecto a un plano si y solamente si el plano es perpendicular al segmento que los une en el punto medio.
Definición:
Se dice que una superficie es simétrica con respecto a un plano de simetría d si el simétrico de cada punto de la superficie respecto del plano d es también un punto de la superficie.

17.1.Construcción de una superficie.

Construir una superficie es muy complicado, por ello se han diseñado otras estrategiaspara hacer la tarea más fácil, lo cual contempla seguir los siguientes puntos en la construcción de cualquier superficie:

1. En las intercepciones con los ejes, los puntos tienen la forma en el plano X (x, 0, 0) en el plano Y(0, y, 0) en el plano Z(0, 0, z), que como pertenecen a la ecuación de la superficie, satisfacen la misma, y al hacerlo, podemos encontraren valor de x, y y z.
2. Verificar los interceptos con los ejes coordenados: Un razonamiento similar al de los interceptos nos lleva a encontrar las trazas de la superficie, que son las figuras que forma esa superficie cuando se intercepta con alguno de los ejes coordenados, entonces aquí buscamos ecuaciones sencillas. Los puntos de las trazas en los planos correspondientes tienen la siguiente expresión: en el plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el plano YZ(0, y, z), que como pertenecen también a la superficie, deben satisfacer su ecuación, por lo que al sustituir cada uno de esto puntos en la ecuación de la superficie se determina la curva correspondiente (la ecuación) de la traza en sus planos respectivos.
3. Verificar las trazas: Para verificar la simetría de una superficie nos ayudamos de la siguiente tabla que dice:
   

   Tabla de simetría
   Si la ecuación de la superficie no se altera cuando las variables x, y y z son reemplazadas por:	La superficie es simétrica respecto al:
   -x, y, z	Plano YZ
   x, -y, z	Plano XZ
   x, y, -z	Plano XY
   -x, -y, z	Eje Z
   -x, y, -z	Eje Y
   x, -y, -z	Eje X
   -x, -y, -z	Origen
4. Verificar la simetría de la superficie. Para hacerlo, se trazan planos paralelos a la superficie para observar que curva se forma cuando se interceptan. Ahora los puntos toman la forma: en el plano XY(x, y, k), k = z, en el plano XZ(x, k, z), k = y y en el plano YZ(k, y, z), k = x.
5. Verificar secciones.
6. Definir la extensión de la superficie.

Simplemente se refiere al alcance que tiene la superficie, es decir, cuales son sus límites, si está definida dentro de un intervalo de valores para las variables o no, etcétera.

18.TEMA DE APLICACIÓN.

18.1.Construcción de volúmenes.

Por volumen entendemos una porción del espacio limitada por una o más superficies, si un volumen está limita solo por una superficie, tal como un elipsoide, dicho volumen puede representarse mediante la construcción de una superficie, si un volumen está limitado por una o más superficies, su construcción requiere la construcción de cada superficie que lo forma y de sus curvas de intersección, veamos dos ejemplos:

EJEMPLO 1: Construir el volumen limitado por las superficies x² + y² = 4 y x + y – z = 0.
Solución: La superficie que se desea está limitada por la superficie del cilindro circular recto x² + y² = 4, el plano x + y – z = 0 y los planos coordenados x = 0, y = 0, y z = 0. Construimos primero una parte del cilindro en el primer octante. El plano x + y – z = 0 pasa por el origen y se puede construir mediante sus trazas sobre los planos XZ y YZ. Luego construimos la curva de intersección de este plano y el cilindro; para obtener cualquier punto P de esta curva, empleando un plano de corte paralelo al plano XZ, lo hacemos como indica la siguiente figura, el contorno del volumen aparece en la línea llena.

EJEMPLO 2: Construir el volumen limitado por la superficie x² + 2y = 4, 2y = 3z , x – y + 1 = 0, x = 0 y z = 0 y que está a la izquierda del plano x – y + 1 = 0.

Solución:La porción de la curva de intersección del cilindro parabólico recto x² + 2y = 4 y el plano 2y = 3z aparece en la última figura por el arco AB. El plano x – y + 1 = 0 corta al arco AB en el punto D, al cilindro en la generatriz CD, al plano 2y = 3z en la recta DE y al eje Y en el punto F , entonces el volumen requerido, que aparece en la línea gruesa, está limitado por las porciones ACD del cilindro. AOED del plano 2y = 3z, CDEF del plano x – y + 1 = 0, OEF del plano x = 0 y AOFC del plano z = 0.

Par ordenado

Un par ordenado es una tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y con segundo elemento b es escrito usualmente como (a, b). Dos pares ordenados cumplen:

(a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d

El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma de un conjunto X determinado y el segundo de un conjunto Y se llama producto cartesiano de X e Y, escrito .

Tuplas ordenadas

Los tríos ordenados y las tuplas ordenadas se pueden definir recursivamente a partir de la definición de par ordenado: un trío ordenado (a,b,c) puede ser definido como (a,(b,c)) ó como ((a,b),c); o sea, un par ordenado que contiene otro par ordenado como elemento.
Esta aproximación se refleja en lenguajes de programación: es posible representar una lista de elementos como una construcción de pares ordenados anidados. Por ejemplo, la lista (1,2,3,4,5) se convierte en (1,(2,(3,(4,(5,()))))). El lenguaje de programación Lisp usa estas listas como su estructura de datos primaria.

Pares ordenados en la teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos pura, donde solamente existen conjuntos, pares ordenados (a, b) se pueden definir como el conjunto:

Esta definición tiene el nombre de par de Kuratowski, y es bien básica, porque requiere de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensión, el axioma de separación y el axioma del par).
La afirmación de que x sea el primer elemento de un par ordenado p puede ser entonces formulada como

y que x sea el segundo elemento de p como

Nótese que esta definición también es válida para el par ordenado p = (x,x) = {{x},{x,x}} = {{x},{x}} = {{x}}.
En la formulación usual ZF de la teoría de conjuntos incluyendo el axioma de regularidad, un par ordenado (a,b) puede también ser definido como el conjunto {a,{a,b}}. De todas formas, el axioma de regularidad es necesario, dado que sin él, sería posible considerar conjuntos x y z tales que x = {z},z = {x}, y . Entonces se tendría que

mientras que se quiere que .

http://www.youtube.com/watch?v=i9o4IUDEB9A

Lugar geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.

Ejemplos

Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:

• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).

• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.

• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).

Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

• Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).

• La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.

Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos. En general, los lugares geométricos generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometría algebraica. q ue es radio es un circulo grande q nos sirve para poder calcular las medidas de un circulo

La Geometría Cartesiana

 

René Descartes.

Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría.

El nuevo método se basa en la siguiente construcción: en un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.

 

Ejes coordenados.

Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría Analítica", apéndice al "Discurso del Método", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.

Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x² + y² = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.

El método original de Descartes no es exactamente el que se acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje de abscisas, calculando el valor de la segunda componente del punto (x,y) mediante la ecuación de la curva, dándole valores a la magnitud x. Por otro lado, Descartes sólo considera valores positivos de las cantidades x e y, dado que en la época aun resultaban "sospechosos" los números negativos. Como consecuencia, en sus estudios existen ciertas anomalías y aparecen curvas sesgadas. Con el tiempo se aceptaron las modificaciones que muestran el método tal y como lo conocemos hoy en día.

Los nuevos métodos

Agotamiento del método sintético

La aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raíces de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías no euclídeas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.

Los límites del método algebraico

El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.

El Cálculo Infinitesimal

El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z).

Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de una variable (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia, y el primero también en ampliar este tipo de estudios a las superficies (como función de dos variables o como el conjunto de los ceros de una función de tres variables). El trabajo de Monge continúa por esta línea.

En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría Diferencial: el Teorema de la Función Implícita.

Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva plana, aunque parece que fue Clairaut el que usa con maestría y fija el concepto.